La solución del acertijo del barbero

El descubrimiento de la famosa paradoja de Russell supuso un acontecimiento importante en los problemas de los fundamentos de la matemática y en el proyecto filosófico del logicismo. Se trata de la más célebre de las paradojas de la teoría de conjuntos y la lógica o, al menos, es la más popular fuera del terreno de los especialistas en la materia. El estudio y las disputas sobre los fundamentos de las matemáticas tienen en su origen cuestiones como las controversias entre la metodología abstracta y la constructiva, y también los problemas que plantean los descubrimientos de las paradojas en lógica y teoría de conjuntos.

Bertrand Russell

Bertrand Russell (1872–1970) fue un importante filósofo y matemático británico que destacó por su trabajo en lógica matemática y filosofía analítica. Asimismo, fue un brillante ensayista que realizó agudas consideraciones en el campo de la crítica social. Estos escritos merecieron el Premio Nobel de Literatura en el año 1950 por su defensa de “los ideales humanitarios y la libertad de pensamiento”.

La idea es muy sencilla de entender, y su carácter directo la hace especialmente llamativa. La pregunta es si existe un conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a sí mismos. Existen conjuntos que no son miembros de sí mismos y otros que sí lo son. Por ejemplo, el conjunto de todos los perros no es él mismo un perro, pero el conjunto de objetos abstractos sí es a su vez un objeto abstracto. Para ilustrarlo, puede servir como ejemplo intuitivo (no como realización estricta) la idea de una cesta que contiene cestas, pues dicho continente de cestas es también una cesta.

Ante la pregunta sobre el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos, se obtiene el resultado que declara que no puede existir. Esto se debe a que nos encontramos frente a una situación paradójica, puesto que si no pertenece a sí mismo, entonces es de la especie de conjuntos que no pertenecen a sí mismos y, por tanto, debería pertenecer a sí mismo por la definición del conjunto por el que nos preguntamos. Por otro lado, si pertenece a sí mismo, entonces, por su propia definición, no puede pertenecer a sí mismo, puesto que sus miembros son precisamente aquellos conjuntos que no pertenecen a sí mismo. En definitiva, este conjunto pertenece a sí mismo si y sólo si no pertenece a sí mismo.

Esta paradoja se ha formulado en términos informales y la versión más difundida es la paradoja del barbero. Según este cuento, un barbero debe afeitar a todas las personas de su pueblo que no se afeitan a sí mismos y únicamente a ellos. No hay más barberos en el pueblo y todos los que no se afeitan a sí mismos tiene que acudir a él. Si se acepta la pregunta (en forma de acertijo lógico) sobre la cuestión de si el barbero se afeita o no a sí mismo, entonces se está cayendo en una celada, puesto que tal barbero no puede existir.

La simpleza de la paradoja es patente, sólo exige las nociones de conjunto, negación y pertenencia, además de los principios de no-contradicción y de tercio excluso.

Ilustración de Cecilia G.F.

[En los tres siguientes párrafos se usan algunas expresiones lógico-formales y se mencionan algunos conceptos teóricos, de modo que si el lector lo desea los puede saltar y quedarse con la idea general. Lo que se explica a continuación son precisiones conceptuales, no añadidos.]

La paradoja fue descubierta por Ernst Zermelo (en 1900) antes que por Bertrand Russell (1901), sin embargo, el primero no le dio la importancia que el segundo sí supo ver. Además, hay que decir que Russell la descubrió de manera independiente. Por este motivo, también es conocida como la paradoja Russell-Zermelo. Russell descubrió la paradoja a través del estudio del teorema de Cantor (“la cardinalidad[1] del conjunto potencia[2] de un conjunto S cualquiera, es mayor que la cardinalidad del conjunto S”). En el análisis de la demostración del teorema y en su búsqueda de contradicciones, Russell consideró el conjunto diagonal R del conjunto potencia de todas las cosas Pow (V). Éste era precisamente el conjunto de su paradoja[3]. El teorema de Cantor negaba que el conjunto V de todas las cosas fuese el conjunto con mayor cardinalidad, pues su conjunto potencia tendría una cardinalidad mayor. Russell pensó ingenuamente que Pow (V) debía estar incluido en V, por eso decidió examinar estos resultados. Russell aplicó el teorema y el método de diagonalización a la clase de todas las clases para comprobar qué ocurría[4].

Gottlob Frege pretendió fundamentar la aritmética de Peano reduciéndola a la lógica. Para esta tarea aceptó el supuesto por el cual, para cada propiedad φ(x), existe la clase de todos los objetos que tienen dicha propiedad, esto es {x: φ(x)}. A esto se lo llama axioma de comprehensión[5], y la teoría ingenua de conjuntos es aquella que lo asume. Mosterín y Torretti[6] señalan con acierto que la paradoja que descubrió Russell, a pesar de que se la comprende dentro de la teoría de conjuntos, pertenece a la teoría lógica de clases, puesto que el conjunto de Cantor no es lo mismo que la clase de Frege. Sin embargo, seguimos la exposición habitual sin entrar en disquisiciones tan puntuales. Así pues, los miembros de este conjunto cumplen la propiedad que lo define, esto es, ∀z (z ∈ {x: φ(x)} ↔ φ(z))[7]. Por otro lado, el conjunto de Russell (el conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de sí mismos), lo expresamos formalmente de este modo R = {x: x ∉ x}. Si la propiedad φ(x) consiste en x ∈ x, entonces el conjunto de Russell es R = {x: ¬ φ(x)}.

El hallazgo de Russell incide sobre esta concepción ingenua, puesto que la paradoja imposibilita el axioma de comprehensión. Esto se entiende en tanto que, para la mencionada propiedad x ∉ x, no puede existir el conjunto de todos los objetos que la cumplen sin caer en contradicción: ∀z (z ∈ {x: x ∉ x} ↔ z ∉ z) o lo que es lo mismo ∀z (z ∈ R ↔ z ∉ z); y lo que es válido para la variable z también lo es para R, es decir que R ∈ R ↔ R ∉ R.

Ejemplo de la simbología lógica ideada por Frege, hoy en desuso.

En conclusión, hay que señalar que, retrospectivamente, puede parecer un resultado trivial y completamente esperable de una concepción ingenua de la teoría de conjuntos. Ahora bien, fue una conclusión refinada de un sistema de ideas bien articulado y determinó la trayectoria de las disciplinas que tocaba.

No podemos terminar sin recomendar el libro Los Lógicos de Jesús Mosterín, en el cual se divulgan puntos fundamentales del desarrollo de la lógica contemporánea a través del repaso de algunos de sus autores destacados.

 

 

Bibliografía

Cantini, A. y Bruni, R. “Paradoxes and Contemporary Logic”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2017 Edition), Edward N. Zalta (ed.).

Coquand, T. “Type Theory”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2015 Edition), Edward N. Zalta (ed.).

Ferreirós Domínguez, J. “¿Antinomia o trivialidad? La paradoja de Russell”. Números. N. 43-44, pp.59-64, 2000.

Irvine, A. D. y Deutsch, H. “Russell’s Paradox”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2016 Edition), Edward N. Zalta (ed.).

Jech, T. Set theory. Ed. Springer. Documento online.

Mosterín, J. y Torretti, R. Diccionario de lógica y filosofía de la ciencia. Ed. Alianza. 2002: Madrid.

Russell, B. Los principios de la matemática. Ed. Espasa-Calpe. 1967: Madrid.

Torretti, R. El paraíso de Cantor. La tradición conjuntista en la filosofía matemática. Documento online.

 

 

[1] De un modo simple, se dice que la cardinalidad es el número de elementos de un conjunto. La cardinalidad de un conjunto S se simboliza | S |. Los conjuntos S y T tienen la misma cardinalidad si y sólo si son biyectables entre ellos.

[2] El conjunto potencia de S es el conjunto de todos los subconjuntos de S. Lo expresamos Pow(S).

[3] Según explica Ferreirós 2000.

[4] Según explica Thierry Coquand 2015.

[5] Fue en el momento de su refutación cuando se explicitó como principio básico. Antes se aceptaba de forma tácita.

[6] Cf. Diccionario de lógica y filosofía de la ciencia.

[7] El símbolo ∈ alude a la pertenencia a un conjunto y el símbolo ∀ es el cuantificador universal.

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